Предельный переход под знаком итеграла стилтьеса

Интеграл Стилтьеса - Курсовая работа , страница 1

Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. оценки; Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса; Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. Предельный переход в равенстве и неравенстве. . Оценки интеграла Стилтьеса. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. Сведение.

Опираясь на оценку 25доказать непрерывность интеграла Стилтьеса по переменному верхнему пределу в точкегде функция непрерывна. Заключение сразу вытекает из неравенства если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация. Если есть класс непрерывных в промежутке функций, а - класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса.

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства. Это, ввиду 4почти очевидно относительно класса. Действительно, если функция имеет точку разрывато она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменениемимеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функциюдля которой интеграл 30 не существует. Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл. По этому методу определится некоторая точкав каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений: Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чиселчтобы и ряд 31 все же расходился.

Теперь определим функциюполагая а в промежутках считая линейной: В то же время, ввиду расходимости ряда 31при и так что интеграл от по действительно не существует. Доказанное утверждение можно сформулировать и так: В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функции равномерно.

Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности: Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции. При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.: Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка.

Пусть для каждой части данного промежутка определено числопричем, если промежуток точкой разложен на части ито и Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка. Предположим, что кроме неё для промежутка задана и функция точки.

Разложим теперь, как обычно, промежуток точками на частив каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму 32 Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно - учитывая процесс его построения - обозначить так: Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством 34 причем легко проверить, что она окажется аддитивнойможно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу Применение интеграла Стилтьеса 3.

Каковы бы ни были функции и случайной величиныдля которых всегдадля них будут иметь место также и неравенства: Величины же итаким образом определенные, могут принимать соответственно только значения иа потому по формуле 1: С другой стороны, очевидно, что вероятности и обе равны вероятностии потому Итак, если ввести функции распределения случайной величины: Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функциивзятому в пределах от до ; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования.

Предельный переход под знаком интеграла.

Итак, для среднего значения должно иметь место равенство: Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина может принимать только счетное множество значенийто среднее значение определяется формулой3 причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.

Имея формулу 3мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений. Приведем пример вычисления среднего значения случайной величиныдля которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным.

Пусть случайная величина определяется следующими условиями: Она может принимать только значения между 0 и 1.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА - PDF

Таким образом, в интервале её функция распределения должна быть постоянна и равна. В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, то есть не может принимать ни одного значения в интервале ипопадание же в четыре интервала,для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалах и её функция распределения должна иметь постоянные значения: Такая же картина повторяется и в каждом из названных четырех интервалов длины и.

предельный переход под знаком итеграла стилтьеса

В этих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определить функцию распределения в каждой точке интерваладостаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечное число. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которых функция распределения постоянна, она должна была получить определенные значения в силу того, что она должна быть неубывающей.

предельный переход под знаком итеграла стилтьеса

Проверим, является ли последовательность монотонной. Проверим выполнимость условий теоремы Б. В силу аддитивности интеграла имеем I x dx dx dx [ 0, ] [ 0, ] ], ] 3. Поэтому не существует такого M, для которого I M при всех N. Леви к данной последовательности не применима.

2.10 Теорема о среднем, оценки

Найти и сравнить интегралы. В силу аддитивности интеграла имеем lim d lim d d d [ 0, ] [, ] [ 0, [ ], ] lim d d 0 l. Поэтому лемма Фату применима. Рассмотрим возможность применения теоремы Лебега о предельном переходе. Найдем теперь интегрируемую мажоранту. Выясним, является ли интегрируемой функцией. Решить предложенные ниже задачи Показать, что в теореме Фату нельзя потребовать выполнения равенства lim x d x lim x d x. Можно ли утверждать, что x d x lim x d x?.

Доказать, что lim x d x lim x d x.

  • Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
  • ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Показать, что теорема Б. Леви является следствием леммы фату и теоремы Лебега о предельном переходе.

Линейность определенного интеграла. Тема

Воспользовавшись леммой Фату, доказать, что если последовательность неотрицательных измеримых на функций сходится почти всюду на к функции и то интегрируема на и x d x K,, Привести пример последовательности интегрируемых на множестве Е функций сходящихся на Е к функции, которая неинтегрируема на Е.